Uma relação entre polinômios ortogonais e funções positivas definidas Ana Paula Peron (USP-São Carlos, Brazil)
Polinômios ortogonais e funções positivas definidas têm sido temas relevantes em várias linhas de pesquisa nas últimas décadas. Neste minicurso apresentaremos uma breve introdução à teoria de harmônicos esféricos. Introduziremos os polinômios de Legendre que desempenham um papel fundamental no estudo dos harmônicos esféricos. Como uma extensão dos polinômios de Legendre, os polinômios de Gegenbauer serão também apresentados. Ambos são importantes exemplos de polinômios ortogonais. Ainda, os polinômios de Gegenbauer são uma ferramenta fundamental no estudo de funções positivas definidas em esferas reais d-dimensionais. Tais funções estão relacionadas à solução de problemas de interpolação, de aproximação e estatísticos. Será apresentado o conceito de positividade definida, exemplos e algumas propriedades. Pretendemos, neste mini-curso, explanar sobre alguns dos principais resultados neste amplo tema, dando dicas sobre algumas linhas de pesquisa atuais.
Spectral transformations of orthogonal polynomials: A matrix perspective Luis E. Garza (Universidad de Colima, Mexico)
Two important matrices appear frequently in the theory of orthogonal polynomials on the real line: a tridiagonal matrix (that represents the multiplication by x operator in terms of the basis of orthogonal polynomials) and a Hankel matrix that contains the moments associated with the orthogonality measure. For orthogonal polynomials on the unit circle, we have analogously the GGT (or CMV) matrix for the multiplication operator, and the matrix of moments, which in this case has Toeplitz structure. These matrices characterize the existence of families of orthogonal polynomials, and their analysis yield algebraic and analytic properties of such polynomials. On the other hand, in the last decades, some attention has been paid to the so-called canonical spectral transformations (i.e. Christoffel, Uvarov and Geronimus) of orthogonal polynomials. In this course, we will show that these transformations can be expressed as certain factorizations of the matrices mentioned above. Furthermore, we will present an alternative matrix approach that has appeared recently in the literature, which allows to characterize the orthogonality in terms of lower triangular infinite matrices. Some open problems will be posed.